О замке Кастель дель Монте скажу сразу: внутри смотреть нечего. Но не посмотреть снаружи – преступление. Такого геометрически идеального строения вы больше нигде не найдете.

И не понятно, каким образом построили такой идеал, если формулы для расчета и все математическое обоснование придумали гораздо позже.

Не понятно, зачем все это было построено. Крепость – не крепость. Военного значения не имеет, для защиты не подходит. Ни крепостного вала, ни рва, ни бойниц. А тем, что есть, частично закрывают обзор боковые башни. Защищать такой замок сложно. Зачем же тогда такие высоченные стены?

Для жилья? Есть версия, что это – охотничий домик. Конечно, когда-то все здесь было облицовано мрамором.
Кроме роскошного интерьера, от которого ничего не осталось, здесь были большие камины и вентиляционные шахты, водопровод. Зато нет конюшен.

Для научных целей? Обсерватория?
Разве что. Для алхимика, астролога и математика – отшельника – самое то. Но это же сколько денег вбухать на строительство таких стен?
Зато идеальное место для тайных встреч, обрядов и прочего.
Слуг брали из дальних городов. Крепость стоит на вершине холма, вдали от поселений.

Незаметно не подобраться. А что касается формы, то, видимо, для короля она имела еще какой-то смысл.

Известно, что Фридрих II даже корону носил восьмиугольную, поэтому восьмиугольная форма замка, полное отсутствие коридоров, восемь восьмиугольных башен, восьмиугольный же внутренний двор с фонтаном, наверняка не случайны.
Я бы подумала, что этот король – масон, но масонские ложи появились на несколько веков позже. И все-таки проблемы с религией и папой Римским у этого покровителя математиков и алхимиков, были.
С другой стороны, Фридрихом построены около 200 крепостей и замков, включая замки в Барлетте и Трани. крепость Барлетты
и Трани

Все защищены валами и рвами. И ни один из них не имеет 8-угольной формы.
И только этот внесен в список Всемирного наследия ЮНЕСКО.

Кстати, подъехать к нему на машине нельзя. В километре от замка есть стоянка за 3 евро. А оттуда пешком. А для ленивых или уставших к концу дня (как я) путников, есть автобус.